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<!DOCTYPE html>

<title>Typ-II-Von-Neumann-Algebra</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Typ-II-Von-Neumann-Algebra</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Typ-II-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der <a href="Von-Neumann-Algebra" title="Von-Neumann-Algebra">Von-Neumann-Algebren</a> betrachtete Algebren. Es handelt sich um den zweiten von drei Typen der <a href="Typklassifikation_(Von-Neumann-Algebra)" title="Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)">Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren</a>. Diese lassen sich weiter in <a href="Endliche_Von-Neumann-Algebra" title="Endliche Von-Neumann-Algebra">endliche</a>, sogenannte Typ-II1-Algebren und unendliche, sogenannte Typ-II∞-Algebren unterteilen, wobei letztere im <a href="%CE%A3-endliche_Von-Neumann-Algebra" title="Σ-endliche Von-Neumann-Algebra">σ-endlichen</a> Fall aus ersteren konstruiert werden können.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

Eine <a href="Projektion_(lineare_Algebra)" title="Projektion (lineare Algebra)">Projektion</a> in einer Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist ein <a href="Selbstadjungierter_Operator" title="Selbstadjungierter Operator">selbstadjungiertes</a> <a href="Idempotenz" title="Idempotenz">idempotentes</a> Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy">, das heißt, es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c93f119a65a342f48ecff09ae4a2b61e9c1cc21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.556ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}" loading="lazy">. Eine solche Projektion heißt abelsch, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle eAe}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle eAe}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b0717f236abec29f0ae2e1a7ec8b3e91a94a700.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.91ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle eAe}" loading="lazy"> eine <a href="Abelsche_Von-Neumann-Algebra" title="Abelsche Von-Neumann-Algebra">abelsche Von-Neumann-Algebra</a> ist, sie heißt endlich, falls aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=v^{*}v}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=v^{*}v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b03823df1ed3e9960d4d0f6cb34637defc87ccdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.491ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e=v^{*}v}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle vv^{*}\leq e}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle vv^{*}\leq e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1114f46273baf05e8c60ca156a5f2f7f7d2d381b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.491ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle vv^{*}\leq e}" loading="lazy"> stets <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle vv^{*}=e}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle vv^{*}=e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93abcff598f05f1844093af1febf4fce79ff8c08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.491ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle vv^{*}=e}" loading="lazy"> folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ II, falls sie außer 0 keine abelschen Projektionen enthält, aber jede von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine von 0 verschiedene endliche Projektion umfasst. Sie heißt vom Typ II1, falls das Einselement als Projektion endlich ist, sie heißt vom Typ II∞, falls keine von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum endlich ist.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> eine <a href="Diskrete_Topologie" title="Diskrete Topologie">diskrete</a> <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a>. Jedes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}" loading="lazy"> operiert als Linksoperator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35cb64545ce38f4b725c1f3a05d3bf9f8a656cfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle l_{g}}" loading="lazy"> und als Rechtsoperator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee9e9d992552dd787862208ccb7d0ca36c738924.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.07ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{g}}" loading="lazy"> auf dem Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(G)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7c53708eda46444598450c0b3ca25f8c8c814d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.66ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(G)}" loading="lazy"> in dem man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/051e063cbea6083e76712ff69130eb386e76c020.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.485ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2dd604e38fd6e421efe282dcb4c3d972813b9c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.841ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})}" loading="lazy"> definiert. Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{G}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c45daf3accb38182fb1cf571c29f19e4b8c4197.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.107ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{G}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{G}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09c519f9df2b7cb8ee438617f8b3a5bd600735a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.288ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{G}}" loading="lazy"> die von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{l_{g};\,g\in G\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{l_{g};\,g\in G\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a57daa0f2c16a6a7b2dae84dc48a05ce0c81cec4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.244ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{l_{g};\,g\in G\}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{r_{g};\,g\in G\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{r_{g};\,g\in G\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c84abaeb591fadb93165c9bcb11edd5e3b33232.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.599ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{r_{g};\,g\in G\}}" loading="lazy"> erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{G}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c45daf3accb38182fb1cf571c29f19e4b8c4197.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.107ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{G}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{G}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09c519f9df2b7cb8ee438617f8b3a5bd600735a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.288ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{G}}" loading="lazy"> endlich und gegenseitige <a href="Kommutante" class="mw-redirect" title="Kommutante">Kommutanten</a>.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> eine <a href="ICC-Gruppe" title="ICC-Gruppe">ICC-Gruppe</a>, das heißt, nur das neutrale Element liegt in einer endlichen Konjugationsklasse, so handelt es sich um Typ-II1-Algebren, sogar um sogenannte Faktoren, das heißt, das Zentrum der Algebren besteht nur aus den Vielfachen des Einselementes.<a href="#cite_note-2">[2]</a></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine Typ-II1-Algebra, so ist das <a href="Tensorprodukt_f%C3%BCr_Von-Neumann-Algebren" title="Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren">Tensorprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}A}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c51b646fd793cab563ed5f9aef807b506306abb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.082ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}A}" loading="lazy"> eine Typ-II∞-Algebra.</li>

<li>Im Artikel zu den <a href="W*-dynamisches_System" title="W*-dynamisches System">W*-dynamischen Systemen</a> ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ-II-Von-Neumann-Algebren führt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Struktur">Struktur</h2></div>

Zu jeder Typ-II-Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> gibt es eine Projektion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> aus dem Zentrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, so dass

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=pA\oplus (1-p)A=pAp\oplus (1-p)A(1-p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c87af055d3d7342bdddfbe4b56c3bd840b0e470.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.046ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=pA\oplus (1-p)A=pAp\oplus (1-p)A(1-p)}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle pA}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b06201bd8d5728c480ab38076615c5a57522a128.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:3.002ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle pA}" loading="lazy"> ist eine Typ-II1-Algebra.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-p)A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9b789cdf99afa35d3110908a7a9128bf305da02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-p)A}" loading="lazy"> ist eine Typ-II∞-Algebra.<a href="#cite_note-3">[3]</a></li></ul>

Zu jeder <a href="Sigma-endliche_Von-Neumann-Algebra" class="mw-redirect" title="Sigma-endliche Von-Neumann-Algebra">σ-endlichen</a> Typ-II∞-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> gibt es eine Typ-II1-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cong L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}B}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cong L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93e3067585888a1cb136ecbc64278bb7e696ef7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.945ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A\cong L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}B}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Tensorprodukte von Typ-II-Algebren sind wieder Typ-II-Algebren. Sind die Algebren vom Typ II1 oder Typ II∞, so ist das Tensorprodukt nur dann vom Typ II1, wenn beide Faktoren es sind, anderenfalls vom Typ II∞.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Typ-I-Von-Neumann-Algebra" title="Typ-I-Von-Neumann-Algebra">Typ-I-Von-Neumann-Algebra</a></li>

<li><a href="Typ-III-Von-Neumann-Algebra" title="Typ-III-Von-Neumann-Algebra">Typ-III-Von-Neumann-Algebra</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Richard_Kadison" title="Richard Kadison">R.V. Kadison</a>, <a href="John_Ringrose" title="John Ringrose">J. R. Ringrose</a>: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definitionen 6.3.1 und 6.5.1

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.5

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.5.2

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.7.10

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>